CHAPTER 1 : POWER SERIES atau DERET PANGKAT

Tutorial tugas kedua Deret Pangkat (Power Serries)

Power series atau deret pangkat adalah deret yang sukunya berbentuk a_nxⁿ di sekitar x = 0; atau yang sukunya berbentuk a_n(x - b)ⁿ disekitar x = b.

Secara umum deret pangkat dinyatakan sebagai berikut:

Deret pangkat sekitar x = 0:

∑_n=0 a_nxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …                 (Pers. 1.1)

Deret pangkat sekitar x = b:

∑_n=0 a_nx = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …                 (Pers. 1.2)

b adalah sebuah bilangan tetap.

Jika kita masukan harga x tertentu ke dalam persamaan dengan pangkat, akan kita peroleh deret bilangan yang bisa berupa deret positif atau berupa deret selang-seling. Karena itu, kekonvergenan deret pangkat ditentukan oleh harga x-nya. Harga x tertentu yang dapat menghasilkan deret pangkat yang konvergen, dihitung dengan menggunakan uji nisbah d’Alembert yaitu:

ρ = Limit_n-->∞(a_{n + 1})/(a_n)

Karena deret pangkat mempunyai variabel x, yang memungkinkan deret menjadi deret selang-seling, maka uji nisbah dinyatakan dalam bentuk mutlak sebagai berikut:

ρ_n = Limit_n-->∞ |(a_{n + 1} x^{n + 1})/(a_n xⁿ)| = ρ |x| < 1

Dengan berpedoman pada uji nisbah katakan bahwa deret pangkat konvergen bila: ρ_n < 1 atau ρ │x│ < 1. Dengan kata lain, deret pangkat akan konvergen untuk daerah harga x berikut:

│x│ < 1/ρ

Jadi, deret ini konvergen pada selang -1/ρ < x < +1/ρ.

Daerah x tergantung dari harga ρ:
1. Jika harga ρ = 0, maka deret dikatakan konvergen untuk semua harga x.
2. Jika ρ = ~ maka deret dikatakan konvergen hanya untuk harga x = 0.
3. Jika -1/ρ < x < +1/ρ, maka deret dikatakn konvergen untuk daerah x antara -1/ρ sampai +1/ρ. Dalam hal ini kita harus mempelajari kelakuan deret pada titik x = -1/ρ dan x = +1/ρ dengan cara memasukkan kedua harga ini harus diperiksa apakah deret bilangan yang diperoleh bersifat konvergen atau divergen.
Saya langsung beri contoh saja, misalkan kita menemui soal yang berhubungan dengan Power Series seperti berikut;

Contoh 1 :
Tentukan daerah kekonvergenan deret berikut:

X – X²/2 + X³/3 – X⁴/4 + …

Penyelesaian:
Deret ini identik dengan bentuk persamaan (1.1). Jadi, deret ini adalah Power Series atau deret pangkat untuk X = 0 dan harga mutlak suku ke-n dan ke-(n + 1) adalah:

|a_n Xⁿ| = |Xⁿ / n|
|a_n+1 Xⁿ⁺¹| = |Xⁿ⁺¹ / n+1|

Untuk menentukan selang X yang membuat deret ini konvergen, kita bisa gunakan hubungan:

ρ_n = limit |(Xⁿ⁺¹ / (n + 1)) . (n / Xⁿ)| < 1
|X| < 1 atau –1 < X < 1

kemudian periksalah sifat deret untuk harga X = 1, dengan cara memasukkan harga ini ke dalam deret X – X²/2 + X³/3 – X⁴/4 + …. Coba anda perhatikan bahwa deret tersebut bisa menjadi deret selang-seling:   1 – 1/2 + 1/3 – ¼ + …  yang konvergen bersyarat.

Untuk X = –1, didapat deret – 1 – ½ – 1/3 – …., yaitu deret harmonis bertanda negatif yang divergen. Jadi, jelas bahwa deret ini hanyalah konvergen untuk harga X di antara X > –1 sampai X ≤ +1. Di titik X = –1, deret divergen.

Kesimpulannya: Deret ini konvergen dalam daerah –1 < X ≤ +1.

Contoh 2 :
Sekarang kita perhatikan power series atau deret pangkat sekitar X = a.

(X – 2) + (X – 2)² / 4 + (X – 2)³ / 9 + (X – 2)⁴ / 16 + ….

Penyelesaian:
Deret ini mempunyai suku umum a_n sebagai berikut:

a_n = (X – 2)ⁿ / n²                                  a_n+1 = (X – 2)ⁿ⁺¹ / (n + 1)²

ρ_n = Limit_n-->∞ |[(x – 2)^{n + 1} / ( n + 1)²] . [(n²) / (X – 2)ⁿ]| < 1

| x – 2| < 1  atau  – 1 < X – 2 < +1
                           1 < X < 3

Jika kita substitusikan atau Masukkan X = 1 ke dalam deret :

Σ _n=1  (X – 2)ⁿ / n²

Maka hasil yang diperoleh adalah:

–1 + 1/4 – 1/9 + 1/16 – ….

Deret ini konvergen mutlak. Sedangkan untuk X = 3, kita bisa ketahui setelah dimasukkan dan deret menjadi :

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ….

Ini juga menjadi sebuah deret konvergen. Jadi, daerah kekonvergenan deret pada contoh no 2 ini adalah 1 ≤ X ≤ 3.

Demikianlah yang bisa saya sampaikan tentang tutorial Power Series pada kali ini. Semoga dari pengetahuan saya yang masih sangat sederhana ini bisa bermanfaat bagi anda. Terima Kasih!!!