Chapter 2.1.pdf

http://www.ziddu.com/download/16114247/CHAPTER2.1.pdf.html

chapter 2.pdf

http://www.ziddu.com/download/16114127/CHAPTER2.pdf.html

chapter 1.pdf

http://www.ziddu.com/download/16114126/CHAPTER1.pdf.html

Chapter 4, Chapter 5, Chapter 6, dan Chapter 8.pdf

http://www.ziddu.com/download/16114072/Chapter5.pdf.html

Chapter 4, Chapter 5, Chapter 6, dan Chapter 8.

http://www.ziddu.com/download/16114063/INTEGRALLIPAT.doc.html

CHAPTER 1 : POWER SERIES atau DERET PANGKAT

Tutorial tugas kedua Deret Pangkat (Power Serries)

Power series atau deret pangkat adalah deret yang sukunya berbentuk a_nxⁿ di sekitar x = 0; atau yang sukunya berbentuk a_n(x - b)ⁿ disekitar x = b.

Secara umum deret pangkat dinyatakan sebagai berikut:

Deret pangkat sekitar x = 0:

∑_n=0 a_nxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …                 (Pers. 1.1)

Deret pangkat sekitar x = b:

∑_n=0 a_nx = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …                 (Pers. 1.2)

b adalah sebuah bilangan tetap.

Jika kita masukan harga x tertentu ke dalam persamaan dengan pangkat, akan kita peroleh deret bilangan yang bisa berupa deret positif atau berupa deret selang-seling. Karena itu, kekonvergenan deret pangkat ditentukan oleh harga x-nya. Harga x tertentu yang dapat menghasilkan deret pangkat yang konvergen, dihitung dengan menggunakan uji nisbah d’Alembert yaitu:

ρ = Limit_n-->∞(a_{n + 1})/(a_n)

Karena deret pangkat mempunyai variabel x, yang memungkinkan deret menjadi deret selang-seling, maka uji nisbah dinyatakan dalam bentuk mutlak sebagai berikut:

ρ_n = Limit_n-->∞ |(a_{n + 1} x^{n + 1})/(a_n xⁿ)| = ρ |x| < 1

Dengan berpedoman pada uji nisbah katakan bahwa deret pangkat konvergen bila: ρ_n < 1 atau ρ │x│ < 1. Dengan kata lain, deret pangkat akan konvergen untuk daerah harga x berikut:

│x│ < 1/ρ

Jadi, deret ini konvergen pada selang -1/ρ < x < +1/ρ.

Daerah x tergantung dari harga ρ:
1. Jika harga ρ = 0, maka deret dikatakan konvergen untuk semua harga x.
2. Jika ρ = ~ maka deret dikatakan konvergen hanya untuk harga x = 0.
3. Jika -1/ρ < x < +1/ρ, maka deret dikatakn konvergen untuk daerah x antara -1/ρ sampai +1/ρ. Dalam hal ini kita harus mempelajari kelakuan deret pada titik x = -1/ρ dan x = +1/ρ dengan cara memasukkan kedua harga ini harus diperiksa apakah deret bilangan yang diperoleh bersifat konvergen atau divergen.
Saya langsung beri contoh saja, misalkan kita menemui soal yang berhubungan dengan Power Series seperti berikut;

Contoh 1 :
Tentukan daerah kekonvergenan deret berikut:

X – X²/2 + X³/3 – X⁴/4 + …

Penyelesaian:
Deret ini identik dengan bentuk persamaan (1.1). Jadi, deret ini adalah Power Series atau deret pangkat untuk X = 0 dan harga mutlak suku ke-n dan ke-(n + 1) adalah:

|a_n Xⁿ| = |Xⁿ / n|
|a_n+1 Xⁿ⁺¹| = |Xⁿ⁺¹ / n+1|

Untuk menentukan selang X yang membuat deret ini konvergen, kita bisa gunakan hubungan:

ρ_n = limit |(Xⁿ⁺¹ / (n + 1)) . (n / Xⁿ)| < 1
|X| < 1 atau –1 < X < 1

kemudian periksalah sifat deret untuk harga X = 1, dengan cara memasukkan harga ini ke dalam deret X – X²/2 + X³/3 – X⁴/4 + …. Coba anda perhatikan bahwa deret tersebut bisa menjadi deret selang-seling:   1 – 1/2 + 1/3 – ¼ + …  yang konvergen bersyarat.

Untuk X = –1, didapat deret – 1 – ½ – 1/3 – …., yaitu deret harmonis bertanda negatif yang divergen. Jadi, jelas bahwa deret ini hanyalah konvergen untuk harga X di antara X > –1 sampai X ≤ +1. Di titik X = –1, deret divergen.

Kesimpulannya: Deret ini konvergen dalam daerah –1 < X ≤ +1.

Contoh 2 :
Sekarang kita perhatikan power series atau deret pangkat sekitar X = a.

(X – 2) + (X – 2)² / 4 + (X – 2)³ / 9 + (X – 2)⁴ / 16 + ….

Penyelesaian:
Deret ini mempunyai suku umum a_n sebagai berikut:

a_n = (X – 2)ⁿ / n²                                  a_n+1 = (X – 2)ⁿ⁺¹ / (n + 1)²

ρ_n = Limit_n-->∞ |[(x – 2)^{n + 1} / ( n + 1)²] . [(n²) / (X – 2)ⁿ]| < 1

| x – 2| < 1  atau  – 1 < X – 2 < +1
                           1 < X < 3

Jika kita substitusikan atau Masukkan X = 1 ke dalam deret :

Σ _n=1  (X – 2)ⁿ / n²

Maka hasil yang diperoleh adalah:

–1 + 1/4 – 1/9 + 1/16 – ….

Deret ini konvergen mutlak. Sedangkan untuk X = 3, kita bisa ketahui setelah dimasukkan dan deret menjadi :

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ….

Ini juga menjadi sebuah deret konvergen. Jadi, daerah kekonvergenan deret pada contoh no 2 ini adalah 1 ≤ X ≤ 3.

Demikianlah yang bisa saya sampaikan tentang tutorial Power Series pada kali ini. Semoga dari pengetahuan saya yang masih sangat sederhana ini bisa bermanfaat bagi anda. Terima Kasih!!!

tutorial Chapter 2 : BILANGAN KOMPLEKS.

Disekolah menengah telah kita pelajari bahwa persamaan akar persamaan kuadrat  a ² + bx + c = 0; dengan a, b, dan c tetap, dapat dicari dengan menggunakan rumus abc seperti berikut.

 X_1,2 =( -b + atau – akar(b²– 4ac))/(2a)

_* (+ atau –) untuk selanjutnya dibaca PLUS MINUS yaa...

jika b² - 4ac >atau= 0, maka akar(b² – 4ac) juga akan >atau=0.Dengan demikian, kita memperoleh  yang berharga real.
Tetapi, jika b² - 4ac < 0, maka akar(b² – 4ac) menjadi akar dari suatu bilangan negatif. Harganya jelas bukan suatu harga real, karena tidak ada harga real yang dapat diperoleh dari mengakarkan suatu bilangan negatif.

Untuk memecahkan masalah semacam ini, didefinisikan sebuah bilangan baru:

i = akar (-1)

 

Yang disebut bilangan imaginer.
dengan menggunakan bilangan imaginer, persamaan kuadrat dengan harga , dapat diselesaikan.
misalkan saya mempunyai persamaan sebagai berikut:

Contoh 1

x² + 2x + 2 = 0

maka dengan menggunakan rumus abc, kita akan peroleh:

X_1,2 = ( -b + atau – akar(b² – 4ac))/(2a)

X_1,2 = ( -2 + atau – akar(2² – 4.1.2))/(2.1)

X_1,2 = ( -2 + atau – akar(4 – 8))/(2)

X_1,2 = ( -2 + atau – akar(– 4))/(2)

karena akar(– 4) = akar(4) dikali akar(-1), maka akar(– 4) = 2 i.

Jadi, 

X_1,2 = ( -2 + atau – 2 i)/(2) = (–1) + atau – (i).

Contoh 2

x ² + 1 = 0,                         x² = –1

X_1,2 = (+ atau – akar(-–1),     karena     (i) = akar(–1)    maka,,

X_1,2 = + atau – (i)       atau       2X_1,2 = 0 +atau– (i)

Setelah saya kerjakan dengan singkat seperti diatas.,, Maka jika kita meneliti kedua penyelesaian diatas, ternyata hasilnya itu terdiri dari dua bagian. Benar tidak,,??!!! Kalo gak percaya,, coba aja periksa dan teliti sendiri. Karena menurut sepengetahuan saya, hasilnya memang terdiri dari dua bagian, yaitu bagian real dan bagian imaginer. Dari penjumlahan kedua bilangan tersebut membentuk bilangan kompleks.

Secara umum pernyataan sebuah bilangan kompleks dapat dituliskan sebagai berikut:

 z = x + iy

dengan x dan y = real dan I = imaginer = akar(-1).
Bagian yang hanya mengandung bilangan real disebut bagian real, disingkat dengan Re-z dan bagian yang mengandung bilangan imaginer, disingkat dengan Im-z.

Jadi bilangan kompleks z = x + iy,  memiliki Re-z = x dan Im-z = y (hati-hati bukan  lhoo..).

Contoh 3

Z = - 2 + 3i  mempunyai Re-z = -2 dan Im-z = 3.
Z = -10i , bilangan kompleks mempunyai Re-z = 0 dan Im-z = -10.

Bilangan kompleks yang bagian real  disebut bilangan kompleks murni, anda bisa lihat pada contoh 3 nomor 2. Selanjutnya apabila kita diberi permasahan 2 bilangan kompleks sekaligus seperti berikut:

Z ₁ = 2 + i    dan    Z₂ = 2 - i

Maka kedua bilangan tersebut diatas dapat disebut pasangan konyugat (sekawan). Secara umum, konyugat sebuah bilangan kompleks adalah sebuah bilangan kompleks lain yang bagian imaginernya mempunyai tanda berlawanan dengan tanda bagian-imaginer bilangan kompleks semula. Notasi untuk konyugat sebuah bilangan kompleks Z = x + iy adalah Z dengan garis diatasnya = x + iy  atau Re-z = Re-z (z dengan garis diatasnya) dan Im-z = -Im-z (z dengan garis diatasnya). 

 Contoh 4

Z = +3 + 3i  konyugatnya adalah  Z(dengan garis diatasnya) = +3 – 2i

  Z = –3 + 7i  konyugatnya adalah  Z(dengan garis diatasnya) = –3 – 7i

Z = +1 – 9i  Konyugatnya adalah  Z(dengan garis diatasnya) = +1 + 9i

Cukup sekian dulu tutorial panjelasan tentang pengertian bilangan kompleks…
mudah – mudahan bermanfaat bagi kita semua. Penjelasan tentang materi fismat yang lainya akan segera menyusul dan dapat anda nikmai secepatnya. Terima kasih!